раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См.
Дифференциальное исчисление)
и интегрального исчисления (См.
Интегральное исчисление)
, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями "вперёд" для последовательности значений
y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции
f (x), соответствующих последовательности значений аргумента
x0,..., xk,,... (
xk =
х0 +
kh, h - постоянное,
k - целое), называют выражения:
Δyk ≡ Δf (xk) = f (xk+1) - f (xk)
(разности 1-го порядка),
Δ2yk ≡ Δ2f (xk) = Δf (xk+1)- Δf (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)
(разности 2-го порядка),
Δnyk ≡ Δnf (xk) = Δn-1f (xk+1) - Δn-1f (xk)
(разности n-го порядка).
Соответственно, конечные разности "назад" Δnyк определяются равенствами
Δnyк = Δnyк + n.
При интерполяции (См.
Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями
δny, которые вычисляются при нечётном n в точках
х = xi+1l2h, а при чётном n в точках
х = xi по формулам
δf (xi + 1/2h) ≡ δyi+1/2 = f (xi+1) - f (xi),
δ2f (xi) ≡ δ2yi = δyi+1/2,
δ2m-1f (xi + 1/2h) ≡ δ2т-1yi+1/2 = δ2т-2yi+1-δ2т-2yi,
δ2mf (xi) ≡ δ2туi = δ2т-1yi+1/2 - δ2т-1yi-1/2
Они дополняются средними арифметическими
,
,
где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают
.
Центральные разности δny связаны с конечными разностями Δny соотношениями
δ2туi = Δ2туi-m,
δ2т+1yi+1/2 = Δ2m+1yi-m
Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам
........................................................
.
Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δ
nyk = f (n)(), где
xk≤≤xk+n. Существует полная аналогия между ролью
конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Например, для приближённого решения (См.
Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени
разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
F [x,(f (x),...,Δnf (x)] = 0 (1)
задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
Ф [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,
выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,
где a1,..., an - постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ1, λ2,... λn его характеристического уравнения
λn + a1λn-1+...+an = 0.
Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
f (x) = С1λ1х + C2λ2x +... + Cnλnx,
где C1, C2,..., Cn - произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ1, λ2,..., λn нет равных).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
Под редакцией Н. С. Бахвалова.